Zona trapezului: formule și metode de calcul

Cuprins:

Zona trapezului: formule și metode de calcul
Zona trapezului: formule și metode de calcul
Anonim

Pentru a te simți încrezător și pentru a rezolva cu succes problemele din lecțiile de geometrie, nu este suficient să înveți formule. Ele trebuie înțelese mai întâi. Să-ți fie frică, și cu atât mai mult să urăști formulele, este neproductiv. În acest articol, diferite modalități de a găsi zona unui trapez vor fi analizate într-un limbaj accesibil. Pentru o mai bună asimilare a regulilor și teoremelor corespunzătoare, vom acorda o oarecare atenție proprietăților sale. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți cum funcționează regulile și în ce cazuri trebuie aplicate anumite formule.

Definiți un trapez

zona trapezoidală
zona trapezoidală

Care este această cifră în general? Un trapez este un poligon cu patru unghiuri și două laturi paralele. Celel alte două laturi ale trapezului pot fi înclinate în unghiuri diferite. Laturile sale paralele se numesc baze, iar pentru laturile neparalele se folosește denumirea de „laturi” sau „șolduri”. Astfel de cifre sunt destul de comune în viața de zi cu zi. Contururile trapezului pot fi văzute în siluetele de îmbrăcăminte, articole de interior, mobilier, vase și multe altele. Trapezul poate fi de diferite tipuri: versatil, isoscel și dreptunghiular. Vom analiza tipurile și proprietățile lor mai detaliat mai târziu în articol.

Proprietăți trapezoidale

care este aria trapezului
care este aria trapezului

Să ne oprim pe scurt asupra proprietăților acestei figuri. Suma unghiurilor adiacente oricărei laturi este întotdeauna 180°. Trebuie remarcat faptul că toate unghiurile unui trapez se adună până la 360°. Trapezul are conceptul de linie mediană. Dacă conectați punctele medii ale laturilor cu un segment, aceasta va fi linia de mijloc. Este desemnat m. Linia de mijloc are proprietăți importante: este întotdeauna paralelă cu bazele (ne amintim că bazele sunt și paralele între ele) și egală cu jumătatea sumei lor:

m=(a+b)/2.

Această definiție trebuie învățată și înțeleasă, deoarece este cheia rezolvării multor probleme!

La trapez, puteți oricând să coborâți înălțimea până la bază. O altitudine este o perpendiculară, notată adesea prin simbolul h, care este trasată din orice punct al unei baze la o altă bază sau prelungirea acesteia. Linia mediană și înălțimea vă vor ajuta să găsiți zona trapezului. Astfel de sarcini sunt cele mai frecvente în cursul de geometrie a școlii și apar în mod regulat printre lucrările de control și examen.

Cele mai simple formule pentru aria unui trapez

zona trapezoidală
zona trapezoidală

Să analizăm cele mai populare și simple formule care ajută la găsirea ariei unui trapez. Este suficient să înmulțiți înălțimea cu jumătate din suma bazelor pentru a găsi cu ușurință ceea ce căutați:

S=h(a + b)/2.

În această formulă, a, b indică bazele trapezului, h - înălțimea. Pentru ușurință de citit, în acest articol, semnele înmulțirii sunt marcate cu simbolul () în formule, deși în cărțile oficiale de referință semnul înmulțirii este de obicei omis.

Să luăm în considerare un exemplu.

Dat: Un trapez cu două baze de 10 cm și 14 cm și o înălțime de 7 cm. Care este aria trapezului?

Să analizăm soluția acestei probleme. Folosind această formulă, mai întâi trebuie să găsiți jumătatea sumei bazelor: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Deci, jumătatea sumei este de 12 cm. Acum înmulțim jumătatea sumei cu înălțimea: 127 \u003d 84. Se găsește doritul. Răspuns: Aria unui trapez este de 84 de metri pătrați. vezi

A doua formulă binecunoscută spune: aria unui trapez este egală cu produsul liniei mediane și înălțimea trapezului. Adică, rezultă de fapt din conceptul anterior al liniei de mijloc: S=mh.

zona trapezoidală
zona trapezoidală

Folosirea diagonalelor pentru calcule

Un alt mod de a găsi zona unui trapez nu este de fapt atât de greu. Este conectat cu diagonalele sale. Conform acestei formule, pentru a găsi aria, trebuie să înmulțiți semiprodusul diagonalelor sale (d1 d2) cu sinusul unghi dintre ele:

S=½ d1 d2 sin a.

Să luăm în considerare o problemă care arată aplicarea acestei metode. Dat: un trapez cu lungimea diagonală de 8, respectiv 13 cm. Unghiul a dintre diagonale este de 30°. Găsiți aria trapezului.

Decizie. Folosind formula de mai sus, este ușor să calculați ceea ce este necesar. După cum știți, sin 30° este 0,5. Prin urmare, S=8130,5=52. Raspuns: Suprafata este de 52 de metri patrati. vezi

Căutând zona unui trapez isoscel

Trapezul poate fi isoscel (isoscel). Laturile sale sunt aceleași, iar unghiurile de la baze sunt egale, ceea ce este bine ilustrat în figură. Un trapez isoscel are aceleași proprietăți ca un trapez obișnuit, plus o serie de unele speciale. Un cerc poate fi circumscris în jurul unui trapez isoscel și un cerc poate fi înscris în el.

găsiți aria trapezului
găsiți aria trapezului

Care sunt metodele de calcul al ariei unei astfel de figuri? Metoda de mai jos va necesita o mulțime de calcule. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți valorile sinusului (sin) și cosinusului (cos) ale unghiului de la baza trapezului. Calculele lor necesită fie tabele Bradis, fie un calculator de inginerie. Iată formula:

S=c sin a (a – c cos a), unde c este coapsa laterală, a este unghiul de la baza inferioară.

Un trapez isoscel are diagonale de aceeași lungime. Este adevărat și invers: dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel. De aici urmează următoarea formulă, care ajută la găsirea aria unui trapez - jumătatea produsului dintre pătratul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele: S=½ d2păcat a.

Găsiți aria unui trapez dreptunghiular

zona trapezoidală
zona trapezoidală

Există un caz special al unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, în care o parte (coapsa ei) se învecinează cu bazele în unghi drept. Are proprietățile unui trapez obișnuit. În plus, are o caracteristică foarte interesantă. Diferența pătratelor diagonalelor unui astfel de trapez este egală cu diferența pătratelor bazelor sale. Pentru aceasta, sunt folosite toate metodele date anterior pentru calcularea suprafeței.

Folosește-ți ingeniozitatea

Există un truc care poate ajuta în caz de uitare de anumite formule. Să aruncăm o privire mai atentă la ce este un trapez. Dacă îl împărțim mental în părți, atunci vom obține forme geometrice familiare și ușor de înțeles: un pătrat sau un dreptunghi și un triunghi (unul sau două). Dacă cunoașteți înălțimea și laturile trapezului, puteți utiliza formulele pentru aria unui triunghi și dreptunghi, apoi puteți adăuga toate valorile obținute.

Să ilustrăm acest lucru cu următorul exemplu. Dat un trapez dreptunghiular. Unghiul C=45°, unghiurile A, D sunt 90°. Baza superioară a trapezului este de 20 cm, înălțimea este de 16 cm. Este necesar să se calculeze aria figurii.

Decizie

Această cifră constă în mod evident dintr-un dreptunghi (dacă două unghiuri au 90°) și un triunghi. Deoarece trapezul este dreptunghiular, prin urmare, înălțimea lui este egală cu latura sa, adică 16 cm. Avem un dreptunghi cu laturile de 20, respectiv 16 cm. Să considerăm acum un triunghi al cărui unghi este de 45°. Știm că una dintre laturile sale are 16 cm. Deoarece această latură este și înălțimea trapezului (și știm că înălțimea cade pe bază în unghi drept), prin urmare, al doilea unghi al triunghiului este de 90 °. Prin urmare, unghiul rămas al triunghiului este de 45°. Ca o consecință a acestui fapt, obținem un triunghi isoscel dreptunghic, în care două laturi sunt aceleași. Aceasta înseamnă că ceal altă parte a triunghiului este egală cu înălțimea, adică 16 cm. Rămâne să calculați aria unui triunghi și a unui dreptunghi și să adăugați valorile rezultate.

Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor sale: S=(1616)/2=128. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul lui lățimea și lungimea sa: S=2016=320. Am găsit necesarul: aria trapezului S=128 + 320=448 mp. vezi Vă puteți verifica cu ușurință folosind formulele de mai sus, răspunsul va fi identic.

Utilizați formula de vârf

zona trapezoidală
zona trapezoidală

În sfârșit, iată o altă formulă originală care ajută la găsirea ariei unui trapez. Se numește formula Pick. Este convenabil să îl utilizați atunci când trapezul este desenat pe hârtie în carouri. Sarcini similare se găsesc adesea în materialele GIA. Arată așa:

S=M/2 + N – 1, în această formulă M este numărul de noduri, adică intersecțiile liniilor figurii cu liniile celulei de pe marginile trapezului (puncte portocalii în figură), N este numărul de noduri din interiorul figurii (puncte albastre). Cel mai convenabil este să îl utilizați atunci când găsiți zona unui poligon neregulat. Cu toate acestea, cu cât arsenalul de tehnici utilizate este mai mare, cu atât mai puține erori și rezultate mai bune.

Desigur, informațiile de mai sus sunt departe de a epuiza tipurile și proprietățile unui trapez, precum și modalitățile de a-și găsi zona. Acest articol oferă o prezentare generală a caracteristicilor sale cele mai importante. În rezolvarea problemelor geometrice, este important să acționați treptat, să începeți cu formule și probleme ușoare, să consolidați în mod constant înțelegerea, să treceți la un alt nivel de complexitate.

Cele mai comune formule reunite îi vor ajuta pe elevi să navigheze prin diferitele moduri de a calcula aria unui trapez și să se pregătească mai bine pentru teste și teste pe această temă.

Recomandat: